1. 거리공간(Metric Space)
$\mathbb{R}^n$에서는 거리가 자연스럽게 정의된다. $X = (a_1, a_2, \cdots, a_n), Y = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$에 대하여 내적(inner product) 는 다음과 같이 정의된다.
\[\langle X, Y \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i\]크기(norm) 도 자연스럽게 주어진다.
\[\| X\| = \sqrt{\langle X, X\rangle}\]크기가 주어지면 거리(distance) 도 정의할 수 있다.
\[d(X, Y) = \| X - Y \|\]거리함수는 일반적으로 아래 3가지 공리를 만족하는 함수를 말한다.
Definition
아래의 3가지 공리를 만족하는 함수를 거리함수(distance function) 이라하며, 이 함수가 정의된 공간을 거리공간(metric space) 라 한다.
- $d(X,Y) \geq 0$ and $d(X,Y)=0$ iff $X=Y$
- $d(X,Y) = d(Y,X)$
- $d(X,Y) \geq d(X,Z) + d(Z, Y)$
이제 일반적인 거리공간으로부터 시작하여 열린집합을 정의해보자. 이를 위해서 다음을 정의한다.
Definition
거리공간 $X$가 주어졌을 때, $p \in X$, $r>0$에 대하여
\[B_r(p) = \{x \in X : d(x,p) < r \}\]을 $p$를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 열린 공(open ball) 이라 한다.
Definition
거리공간 $X$가 주어졌을 때,
\[\forall x \in U, \quad \exists \delta>0 \quad \text{such that} \quad B_\delta(x) \subset U\]를 만족하는 $U \subset X$를 열린집합(open set) 이라 한다.
이는 다음을 만족한다.
Proposition
열린 공은 열린집합이다.
Proposition
거리공간 $X$가 주어졌을 때 다음 세 가지 조건을 만족한다.
- 공집합과 $X$는 열린집합이다.
- arbitrary union of open sets은 open이다.
- finite intersection of open sets은 open이다.
Note
- open set들의 무한 개의 intersection은 open을 유지할 수 없다.
- 예)
이제 위상공간을 정의하자.
Definition
공간 $X$가 주어졌다고 하자. 다음 세 가지 조건
$\emptyset, X \in \mathcal{T}$
For all family of sets ${U_\alpha}{\alpha \in \mathcal{A}}$ where $U\alpha \in \mathcal{T}$,
\(\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcup}U_\alpha \in \mathcal{T}\)
\[\underset{i \in \mathcal{I}}{\bigcap}U_i \in \mathcal{T}\]
- For all family of finite sets ${U_i}_{i \in \mathcal{I}}$ where $U_i \in \mathcal{T}$,
을 만족하는 집합 $\mathcal{T} \subset P(X)$를 위상(topology) 이라고 하며, 위상이 정의된 공간을 위상공간(topological space) 라고 부른다.
이제 해석개론에서와는 다른 방식으로 연속함수를 정의해볼 수 있다. 해석개론에서는 오로지 거리공간에서만 다루는 반면, 위상공간에서는 그와 독립적이므로 새로운 정의를 해볼 수 있다.
Lemma
함수 $f : X \Longrightarrow Y$와 $A\subset B, B\subset Y$가 주어졌다고 하자. 다음 세 명제는 equivalent.
- $x \in A \implies f(x) \in B$
- $f(A) \subset B$
- $A \subset f^{-1}(B)$
이러한 특징을 이용하면 연속함수를 다시 정의해볼 수 있다.
Definition
함수 $f : X \Longrightarrow Y$와 $x_0 \in X$가 주어졌을 때, $f$가 점 $x_0$에서 연속 이라 함은 $f(x_0)$를 포함하는 $Y$의 열린집합 $V$에 대하여 $f^{-1}(V)$가 $x_0$를 포함하는 어떤 열린집합을 포함하는 경우를 말한다. 정의역의 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수 라고 한다.